Морозов является воспитанником московских "Крыльев Советов", цвета которых он защищал с 1993 по 1997 год. С 1997 по 2004 год форвард выступал в НХЛ за "Питтсбург", а вернувшись в Россию, заключил контракт с "Ак Барсом", за который играл до окончания сезона-2012/13. В прошлом сезоне выступал за ЦСКА. Морозов — единственный, кто забрасывал в матчах КХЛ 1, 2, 3, 4 и 5 шайб.
По словам Морозова, "решение принято, и я смирился с тем, что закончил с любимым делом. Вечно играть не будешь, когда-то все равно приходится заканчивать.
Доволен тем, чего смог добиться. Играл с отличными партнерами, было много ярких побед, но прекрасно понимаю, что мое время уходит. Бегать по клубам я не привык — так сложилось. Начинал в "Крыльях Советов", семь сезонов провел в Северной Америке за "Питтсбург", после возвращения долго играл в "Ак Барсе", ну а последний год — в ЦСКА — получился скомканным. Рассчитывал, что вернусь в Москву и все будет хорошо, но не задалось".
"Ностальгировать начну позже, когда окончательно осознаю, что карьера завершена. Летом размышлял, как лучше для меня, для близких. В итоге на семейном совете постановили — правильнее всего закончить и больше времени уделять домашним делам", — сказал нападающий в интервью газете "Спорт-Экспресс".
"После расторжения контракта с московскими армейцами сказал агенту, что никаких предложений рассматривать не буду и никакой работы относительно моего трудоустройства проводить не надо", — добавил он.
