"Моя девичья фамилия – Ваарман. Вески – фамилия первого мужа. Яак был моим однокурсником, – рассказывала Анне журналистам. – Я вышла замуж за него еще студенткой. Яак писал классные стихи, песни на которые стали моими первыми хитами в Эстонии".
Их отношения с самого начала были противоречивыми: Яак Вески то сдувал с жены пылинки, то закатывал сцены ревности. Вдохновленный любовью, он устроил ее солисткой в местный ансамбль "Витамин", а потом сам же стал требовать, чтобы она больше времени проводила дома. Хотя Анне уже вовсю ездила на гастроли. Просто супруг надеялся, что жена не покинет пределы Эстонии, а страна не очень-то и большая... "Но как-то так вышло, что первые же наши хиты на его слова здорово расширили гастрольную географию. Меня еще меньше стало дома", – вспоминала певица.
В 21 год Анне родила дочку Керли. Сидеть с ребенком вызвалась ее мама, но супруг все равно был недоволен, когда Анне уезжала на концерт. Доходило и до рукоприкладства. А однажды пьяный муж попытался вломиться в ее комнату с топором! "Приступы ревности случались все чаще, как-то он чуть не убил меня в порыве ярости! Я еле убежала. В итоге мы разошлись. Я забрала дочку к себе, а Яак не выдержал, начал пить и вскоре ушел из жизни", – признавалась Анне. Певица уверяет, что не держит на бывшего мужа зла: "На память о нем мне осталась фамилия, которую знают миллионы людей, и прекрасная дочь Керли – она подарила мне внуков Доминика и Фредерика".
В 1981 году Вески снова вышла замуж. "Первые десять лет мы вместе ездили на гастроли – Бенно боялся меня отпускать. Теперь стал ленивее, часто остается дома. Он знает, концерты – это не сплошной праздник для артиста, как людям иногда кажется", – призналась она.